设是区域(有限复平面)内的实值调和函数，我们称为内的调和函数.在区域内的调和函数具有形式，其中都是解析的.我们知道解析单叶函数的研究始于19世纪初，经过漫长的发展历程，解析单叶函数已经有了长足的发展，而调和单叶函数在解析单叶函数理论的基础上，最近几年才发展起来，很多新的问题还有待于去解决，于是我们自然而然的想到用解析单叶函数作为研究调和单叶函数的起点，因此我们可以说调和单叶函数是解析单叶函数的延拓.
在1851年，G. Bernard Riemann指出，总存在从映射到的解析函数，其中是在平面中任给的单连通区域，而是在平面中任给的单连通区域，这就是最初的黎曼映射，后来由黎曼映射的理论进一步发展成为复变函数的几何理论，但是这个理论并不完整，以至于它的应用受到了很大的局限性.到了20世纪初，在1907年，Koebe[2]发现了有关在单连通区域内解析单叶函数的一系列定理，复变函数的几何理论才有了一定的发展，但是它并没有像人们所期待的那样，在生产生活中得到广泛的应用.直到1916年, 发表了他的猜想：对每个形如的函数对都成立，后人称之为Bieberbach[4]猜想.后来很多人都尝试着证明或驳斥猜想的正确性，以至于很多重要的方法和相关的理论都得到了长足的发展.到了1984年中期，Louis de Branges[5]通过引进局部单叶解析保向函数族S的几种子集，经历了68年的Bieberbach猜想最终被证明.Bieberbach猜想被证明之后，人们自然而然的要追问函数族S的经典集合是否可以扩展成调和单叶函数的函数族和？在1984年，Clunie and Shell-Small[5]给出了肯定的答案，他们发现尽管估计这些函数族的方法有所不同，但是调和映射在函数族和有很多类似的估计却给出了合理的解释，这就产生了平面调和映射的理论，从那以后，平面调和单叶函数就得到了飞速的发展.
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