对称正定线性方程组的两种解法及应用.doc

摘要:在自然科学和工程实际应用中,有许多问题的求解最终都转化为线性方程组的求解问题。例如,电学中的网络问题,曲线拟合中常用的最小二乘法,样条函数插值,解非线性方程组,求解偏微分方程的差分法、有限元法和边界元法等。求解线性方程组的数值解法目前一般有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代方法。直接法在假定没有舍入误差的情况下,经过有限次运算可以求得方程组的精确解。迭代法则从一个初始向量出发,按照一定的迭代格式，构造出一个趋向于真解的无穷序列。在文献[1-4]中对两类方法有详细的介绍。在科学研究和工程技术的实际计算中遇到的线性代数方程组，其系数矩阵往往具有对称正定性,对应的方程组则称为对称正定线性方程组。而对于这种特殊的线性方程组我们可用平方根法,共轭梯度法等求解。平方根法是一种特殊的直接法,共轭梯度法是一种无需选松弛因子的迭代法,但如果计算精确,其经有限步可求得精确解。文献[5-8]对这两种方法进行了讨论。本论文主要考虑了解对称正定线性方程组的平方根法及共轭梯度法，介绍其基本思想及算法。并基于MATLAB编写程序,针对一些具体的题目进行上机求解。通过数值实验的结果我们可以进一步明确这两种方法各自的特点,同时也表明了对称正定线性方程组的应用价值。

关键词  线性方程组；平方根法；共轭梯度法；预处理共轭梯度法；MATLAB

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

2 对称正定线性方程组的两种解法-4

2.1 三角分解法-4

2.2 平方根法-5

2.3 共轭梯度法-8

2.4 预处理共轭梯度法-11

3 数值实验-13

结论-18

致谢-19

参考文献-20

附录-21