二阶常微分边值问题的数值解法及应用.doc

摘要:本课题主要研究运用有限差分法来数值求解线性及非线性的二阶常微分方程的边值问题，以差商公式替换微分方程中的各阶导数，得到差分方程。经过分析差分方程的本质，联系解三对角线性方程组的Crout分解法和解非线性方程组的Newton法，求解差分方程，从而给出解二阶常微分方程边值问题的有限差分算法。最后，我们利用MATLAB数学应用软件上机编写程序，并用他们求解一些具体的二阶常微分方程的边值问题。我们将实验的数值结果同理论的精确解进行对比和进行误差分析，由此说明了这些方法的有效可行。同时，我们对同一道题目选择不同的实验步长，比较在不同情况下的误差大小，进一步明确本课题所研究运用的算法的优缺点。

关键词   常微分方程；边值问题；有限差分；数值解

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

  1.1 研究背景及意义-1

  1.2 研究的现状-1

  1.3 本文的主要工作-2

2 有限差分法的原理-3

  2.1 差分概念-3

  2.2 构造差分的方法-4

  2.3 建立差分格式的步骤-4

3 求解线性及非线性方程组的核心算法-5

  3.1 解三对角线性方程组的Crout分解法-5

  3.2 解非线性方程组的Newton方法-6

4 解两类二阶常微分方程的边值问题的方法-9

  4.1 线性问题的有限差分法-9

  4.2 非线性问题的有限差分法-11

5 数值实验及应用-15

  5.1 线性问题的数值求解及应用-15

    5.1.1 验证型数值实验-15

    5.1.2 应用型实例解析-17

  5.2 非线性问题的数值实验及应用-19

    5.2.1 验证型数值实验-19

    5.2.2 应用型实例解析-22

结论-25

致谢-26

参考文献-27

附录-28