本研究以无锡市某小学五、六年级随机两个班的全部 156 名学生为研究对象，通过自编四种不同类型和两种不同难度的应用题试卷，探究高年级学生数学应用题的表征策略使用的一般特点。结果表明：1.学生采取的两种策略分别是直接转换策略和问题模型策略。2.解决路程问题和和差问题时，学生偏向于使用问题模型策略且正确率较高，而解决比例问题和平均数问题时，学生偏向于使用直接转换策略且正确率较高。3.随着年级的升高，学生使用问题模型策略的人数增加，并且掌握得越来越成熟。4.随着应用题难度的增加，越来越多的学生会选择问题模型策略进行解题，并且解题正确率提高，而使用直接转换策略的被试解题正确率没有显著变化。5.不同性别的被试在解决路程问题、和差问题和比例问题的策略使用情况以及解题正确率上没有显著差异,但是在解决平均数问题上却存在显著差异。 数学应用题 是将数学与现实生活相结合的一种问题形式,在学生构建数学思维方面至关重要。解决应用题的基本能力就是数学运算能力,而解决应用题的核心和关键就是表征能力。1 表征 理解和分析问题，同时以某种方式在头脑里呈现出问题。搞清楚问题的要求与条件，是解决问题的关键，有时候人们不能正确解决问题就是因为没有建立起对问题的正确表征。问题表征说明了问题是怎样在头脑中呈现的，即问题的已知条件是什么、要达到的目标是什么、以及应该采取怎样的策略来达到目标等。2 表征策略 本研究所论述的策略主要是指在学习过程中学习者所要采取的具体学习方法、技能以及监控自己的学习活动来提高学习活动水平的技能。3 数学应用题表征策略 小学生解决数学应用题之前对该题进行的一系列思考，分析题目弄清问题的要求和条件，为成功解题所做的准备,为解决问题提供帮助。 问题解决 经过一系列复杂的认知操作来完成某一种思维任务。其中,“解决”的两个含义，一是讲问题的最终答案找到，二是找到方法去解决问题。4 直接转换策略 在解决问题时，从题目中挑选出所含的数字和关键词，然后对数字进行加工，这当中注重的是对量的推理，即运算过程。5 问题模型策略 在解决问题时，首先尝试理解问题中的情境，然后再根据情境来表征合适的解题计划，其中注重的是对质的推理，即弄清问题中各个条件之间的关系。6 1.2数学应用题表征策略的研究 1.2.1数学应用题、问题解决与表征的关系 近几年，问题解决在国际数学教育界普遍受到重视，并被引入了一些国家的数学课程中，在我国,也有许多学者认为，数学教育的各方面都将被问题解决所影响。在小学数学教育中,应用题教学在问题解决中有着举足轻重的地位,它联系着数学建模的过程,解决这些问题,一方面能帮助学生认识到数学加工、语言加工、情境推理之间的关系，另一方面又可以使其基本认识到蕴含的数学规律。正如 Reusser 所说，应用题是结合数学与现实生活的一种形式，其一方面有利于学生数学思维的建构，另一方面由于应用题的设计是建立在掌握数字运算的基础上的，所以能够融合学生其他的能力，其中的核心和关键就是表征能力。7如果小学生不能对应用题形成适当的表征策略，将会直接制约其解题效果，同时造成学习障碍。高年级小学生相对来说已经具备了比较全面的表征策略。 长期以来，数学应用题解决研究都倍受研究者的关注。在 Mayer 等人的研究中，将其分成了四个基本过程，即转化过程、了解过程、计划过程和执行过程。其中，转化过程就是把用言语描述的问题转化为内部表征；了解过程就是把这些内部表征组织成条理清晰的结构；计划过程就是问题解决者运用策略来利用这些内部表征寻找解决问题的思路和方法；执行过程包含解决问题过程中所需的所有操作知识。并且 Mayer 等人认为，数学应用题的解决就是重新组织问题来进行表征的过程，并且还高度重视问题表征产生的重要性。越来越多的研究也发现理解题意是解决应用题的关键，形成已知条件与问题目标之间的问题情境的正确表征。同时，已有研究也表明数学问题表征质量的高低将直接影响问题能否解决，不能生成合理的问题表征，不能恰当地组织问题是造成儿童数学学习困难的重要原因 8。近年来，认知心理学的进一步发展，推动了问题表征与数学应用题解决的研究。所以本课题着重研究高年级的小学生数学应用题的表征策略，以此来探讨数学学习困难的原因。 Mayer 的经典理论：Mayer 认为，数学问题解决有两个重要成分：问题表征和执行解决计划。9在解决这个问题的过程中，主要的问题是用问题的语言表达来表征问题。在问题表征中，Mayer 指出其具体涉及到两个过程：一是对句子的翻译，特别是对关系命题的理解。Mayer 认为任何一种应用题都可以描述为是把一系列的独特命题组成的一个“模版”，这些命题大致可分为以下四种类型：一是赋值命题，用来说明其中一个变量的数值（如“小红有 5 朵花”）；这样的句子后常跟着的是 一个关系命题，将其与另一个变量的关系来定义了一个新的变量（如“她比小米多 4 朵”）；最后，就是一个关于未知量数值的问句命题（如“小米有多少朵花”）； 此外，它还包括必须了解的事实的信息。儿童容易出现的错误是对关系信息的理解不充分或出现误解，但随着年龄的增长，儿童对关系命题的理解能力逐渐增加。二是识别问题，在学习活动中，问题常被儿童尝试着归成各种类型，即获得各种问题类型的图式，识别问题中的一些数量关系类型就是关键。我们可以将这种问题类型的图式看作是儿童所获得的一类知识，能够为儿童的问题解决提供先导性支持。 1.2.2数学应用题表征策略类型的研究 直接转换策略与问题模型策略：在问题表征类型中，以 Mayer 等人提出的两种基本策略最具有代表性，并受到广泛认同。Mayer（1996）等人认为，在数学应用题表征中存在着两种基本策略，就是问题模型策略、直接转换策略。直接转换策略就是，在解决问题时首先从题目中挑选出所含的数字和关键词，然后加工数字，其中注重对量的推理，就是运算过程；问题模型策略是指，解决问题时首先尝试着理解问题的情境，然后再根据情境来表征合适的解题计划，其中注重对质的推理，就是弄清问题中各个条件之间的关系。 Hegarty 等人（1999）也提出，在表征问题时,通常采用问题模型策略来解题的一般成功率较高，而失败的解题者却大部分采用直接转换策略，因为他们是直接从问题中选择数字以及一些关系词（如“比”或“少”）来进行表征的。10 11直接转换策略的使用对工作记忆的要求特别低，并且也不依赖于问题解决者自身关于问题类型拥有的知识多少。然而，当描述问题的上下文中的信息的含义与问题解决方法，直接转换策略往往会导致错误的答案，这是因为使用直接转换的方法，不能准确地表达问题情境中的相关信息。 1.2.3小学生数学应用题表征策略的研究现状 曾盼盼等人（2003）研究了我国在图式和图像表征中的小学生的年级差异。结果发现，在小学高年级阶段，数学问题解决时，使用图像表征策略的正确率无显著差异；而使用图示表征策略的正确率均有所上升。在难度等级越高的题目上，使用图示表征的程度增加，图像表征策略没有显著的年级差异。不同年级学生在难度水平低的问题上，各个变量差异均不显著。 路海东等人（2003）则针对我国小学生表征“和-差”应用题的策略进行了一系列研究，结果表明：(1) 直接转换策略和问题模型策略存在于我国大部分的小学生在对该类应用题的表征中；（2）不成功组的被试在表征时倾向于使用直接转换策略，而成功组的被试则更倾向于问题模型策略。 许多研究者在这方面也进行了一系列的研究，例如陈英和、仲宁宁等人（2014）认为，表征问题时，个体到底是倾向于选择问题模型还是情境模型，其最主要的就是问题解决所处的阶段，个体在处于不同的问题解决阶段时会倾向于使用不同的表征模型。甚至有的学者会认为，研究数学问题解决，不是权宜之计，而是在历史的长河中必然存在的，是符合时代智慧的趋势的。在数学问题解决中，纪桂萍等（1996）把其中的心理表征分为抽象表征、形象表征两种，一个好的形象表征会帮助学生形成一个有效的抽象表征，从而更好地理解了问题解决的实质和关键。 1.2 问题提出 作为一种高级的心理过程，问题解决在近年来的研究中被认为是一个寻找和接受信息、回忆知识和方法处理信息的过程。研究问题解决在国际数学教育界都受到了普遍的重视，学习数学就是为了能够应用，而应用题的解决就是将数学知识进行应用的第一步。根据小学数学课程标准中的要求来看，在小学生数学学习的过程中，应用题的解决至关重要，数学应用题既是数学教育中的重点，又是数学教育中的难点。通过本研究，不仅可以帮助教师制定针对性的教育干预策略，为因材施教提供指导，而且可以有效指导小学生学习应用题，如可以加强学生掌握有效问题表征的训练，提高解题能力和水平。同时，国内外教育普遍发现，许多学生在解决应用题的时候均存在不同程度的障碍。 本研究根据以往对认知心理学的研究成果以及数学问题解决的研究，在前人的总结下确定了本研究使用的两种有效策略，分别为直接转换策略和问题模型策略，以此来探讨两种应用题表征策略对问题解决的影响。 以高年级小学生为代表，选取路程问题、和差问题、比例问题以及平均数问题，提出以下几点研究假设： 1.在解决路程和平均数问题时，学生会偏向于使用问题模型策略，而在解决比例问题和平均数问题时，学生会偏向于使用直接转换策略。 2.随着年级的升高，学生对于问题模型策略的使用人数增加，并且掌握成熟度增加。 3.不同性别的学生在使用表征策略上几乎没有差异。 4.解决难度较高的应用题，使用问题模型策略解题的人数增加并且解题正确率增高。 5.表征策略的使用影响问题的解决，解决路程和和差问题，使用直接转换策略的正确率低于问题模型策略，而在解决比例问题和平均数问题时，直接转换策略的正确率较高。随着年级的升高，问题模型策略的解题正确率增加，而直接转换策略的解题正确率没有显著变化。
低难度应用题 1.甲、乙两人在一条长 90 米的隧道两端同时出发，已知甲每分钟前进 10 米，乙每分钟前进 5 米，问他们两人几分钟后可以相遇？ 2.《红楼梦》分上、下两册，全书共 108 元，上册比下册便宜 6 元。上、下两册各是多少元？ 3.学校准备给在写字比赛中表现优秀的前五名发铅笔作为奖励。第五名一支铅笔，第四名是第五名的 2 倍，第三名是第四名的 2 倍，依次增大，那么第一名可以得到几支铅笔？ 4.四（1）班共有学生 41 人，一分钟跳绳考核时有 3 位同学因病缺考，平均成绩是每人跳 80 个。后 来 3 位同学补考，成绩分别是 100 个，96 个和 85 个。这时全班的平均成绩是多少个？
高难度应用题 1.小明站在铁路边，一列火车从他身边开过用了 2 分钟。已知这列火车长 900 米，以同样的速度通过大桥时用了 5 分钟，这座大桥长多少米？ 2.植树节，育红小学三、四、五年级的同学去植树，一共植了 108 棵。三年级比四年级少 5 棵，五年级比四年级多 11 棵。三、四、五年级各植了多少棵？ 3.水果店分 5 次买进一批苹果，已知第二次买进的数量是第一次的 2 倍，第三次又是第二次的 2 倍，依此类推，那么最后一次买进的数量是第一次的多少倍？ 4.有 6 个数排成一行，它们的平均数是 27，已知前 4 个数的平均数是 23，后三个数的平均数是 34，请问第 4 个数是多少？ |
