微元法是把研究对象分割成无限多个无限小的部分，取出具有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到整体综合起来加以考量的科学思维方法。微元法是是伴随着微积分的产生而产生的，随着对微积分研究的不断深入，微元法在积分学中的地位越来越重要，微元法的使用使原本复杂的微积分问题变得容易处理。微元法的应用十分广泛，几何图形的体积、表面积、弧长(见文[8])，物理中做功、流体的通量、电场问题（见文[2,3,9])都可用微元法处理。 文[1]系统介绍了微元法及其在数学物理中的应用。文[5]以球的体积与表面积计算的发展史史料为基础就人类对球的认识、分割求积、球的体积与表面积的关系做了总结与考察，着重介绍了分割求积的方法，体现了微元法的思想。文[4]对刚体转动的角速度和角加速度进行了讨论。文[6，7,10]主要介绍了定轴转动时刚体转动的惯量计算方法及的微元法在计算刚体转动惯量中的应用。文[8]主要介绍了一些大学学习中应用的数学知识包括积分中的微元法的概念及其应用。 对于很多抽象的整体或者是过程，通过微元法都可以拆分成多个规则的微元，从而可以利用定理和公式完成整个计算。微元法在现实中的应用不仅仅限于数学和物理学科，对于化学、生物甚至经济学都有着特殊的贡献。微元法作为一种研究方法，在现实应用中的作用强大。 本文主要研究对象为积分中的微元法的应用。本文先是介绍了积分的定义以及积分的应用，通过积分的应用展开了微元法的引入。同时对微元法的定义以及其应用范围做了介绍，着重介绍了微元法在实际问题中的应用，通过举例的方法展示了微元法的详细步骤。本文对空间两个球体之间的引力计算做了推导，利用微元法对该公式做了印证与修正。首先介绍了转动惯量以及两物体之间引力的定理及相关公式，作为物理学中的重要概念，转动惯量与引力定理的推导与理解都有着一定的难度，作为抽象的概念，如何更好的理解与推导成为了掌握该概念以及原理的主要问题。本文先是给出了相关的公式，然后再利用微元法对其做了推导，对于同一个问题从多角度利用微元法去解决。在推导的过程中详细的展现了微元法的具体作用，同时在这个过程中更好的掌握了定理。对于更好的掌握以及解决实际问题有了详尽的展示。 利用微元法计算圆柱体绕中心轴的转动惯量 在刚体力学中，转动惯量是一个很重要的物理量，在大学的课程与教材中，转动惯量的表达式是直接给出的，并未没有详尽的推导过。因此，本文利用微元法计算了大学物理中刚体力学部分一个十分重要的物理量。大多数普通物理教材中仅直接写出均匀圆柱体对其中心轴转动惯量的表达式，而没有详细写出求解过程。本文通过微元法对该转动惯量进行推导，通过选取不同的微元计算和印证圆柱体对其中心轴的转动惯量。设均匀圆柱体的质量为，底面半径为，体密度为高度为。在计算圆柱体的转动惯量前，先计算圆环的转动惯量。建立坐标系如图8所示。 三个实例可以看出微元法在实际应用中起到了很大的作用，不仅仅是数学上的方法，还可以解决很多实际问题。在佐证与推算定理和公式中也有很大的作用。以上三个实例均有相应的理论支持，但是放大到整体就不适用，因此微元法的优点就在于可以无限的分割，直至分割到合理为止。由此可见微元法在解决实际问题中的意义重大。 本文主要围绕积分学中的微元法展开，对其概念及应用做了介绍。首先介绍了微元法的概念及其具体步骤。并且通过实例详细的展示了微元法的具体步骤以及作用。 在本文的第三章针对两个球体之间的引力以及圆柱体和球体关于中心轴的转动惯量做了微元推导。利用了微元法的思想将整体切割成单个可以使用定理的微元，再对其累积成整体印证了定理以及推导了公式。 本文对积分中的微元法展开了详细的介绍并对其应用做了分类介绍以及实例展示，对拓宽微元法的应用以及补充一些公式上的推理做了一定数据支持，同时也掌握了微元法的具体使用方法，多元化的分割整体，从不同角度印证了公式，无论是对数学还是物理学科都有一定的启示作用。微元分析法帮助我们建立了各种纷繁复杂的实际问题的数学模型。它伴随着微积分的产生而产生的，随着数学对微积分研究的不断深入，微元法在积分学中的地位势必会越来越重要。所以，学好微元法，利用好微元，熟练掌握这一重要数学思想方法，对于数学的研究无疑是起了重大的推动作用。 |
