分数阶延迟双曲方程的有限差分方法.docx

摘要  随着数学科学的飞速发展，分数阶微分方程不仅被越来越多的用以描述一些自然现象，如现代工程，经济金融等，而且还是刻画生物现象，系统状态，物理过程的一种强有力工具。而在自然界中，延迟现象又是一种常见且不可避免的现象，描绘了一种既依赖于当前状态又依赖于过去状态的过程系统，因此延迟偏微分方程更能客观准确地解释自然现象的很多规律。然而因为延迟的影响通常情况难以获得精确解，在实际运用中，人们往往寄希望于使用问题的数值解来替代精确解，所以对延迟微分方程数值方法的研究就具有重要意义和实用价值。由于当前对分数阶延迟微分方程数值方法的研究还相对较少，因此本文将研究分数阶延迟双曲型方程的有限差分方法，通过对非线性延迟双曲方程构造Crank-Nicolson差分格式并借助不同的数值算例来验证该方法的有效性。本文内容主要包括以下几个组成部分

第一章，简要介绍分数阶延迟微分方程的发展背景及研究方法,为便于差分格式的推导，本文将涉及到的一些理论知识也被梳理。

第二章，利用预备知识对非线性双曲方程构造Crank-Nicolson差分格式，通过比较数值解、解析解的函数图像来衡量差分格式的有效性。

第三章，总结本文工作，回顾过程中遇到的问题和收获并对仍然存在的问题进行分析提出建议。

关键词：延迟微分方程   分数阶偏微分方程   Crank-Nicolson差分格式   分数中心差分法

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1分数阶延迟微分方程的发展背景-1

1.1.1分数阶微分方程-1

1.1.2延迟微分方程-2

1.2 研究方法-2

1.3本文所需的基本概念-3

1.3.1 Gamma函数-3

1.3.2 分数阶微积分-4

2分数阶延迟双曲方程的有限差分方法-6

2.1 差分格式的建立-6

2.2数值算例-9

3 总结-15

参考文献-16

附录-17

致谢-19