变系数分数阶薛定谔方程的有限差分方法.docx

摘要  薛定谔方程是量子力学中的基本方程，它表达了微观世界中物质运动的基本规律，奠定了近代量子力学的基础。随着分数阶微积分的发展，近年来分数阶薛定谔方程也已成为研究的热点。但对于变系数分数阶薛定谔方程，目前还没有相关的探讨成果呈现。鉴于此，本文将对求解变系数分数阶薛定谔方程的数值方法进行初步的研究与探讨。众所周知，薛定谔方程是一类典型的非线性偏微分方程。因此，求解它的数值方法通常也是非线性的，这使得相应的计算成本变得非常昂贵。为了降低计算成本，本文构造了一个线性化的三层差分格式，有效地避免了求解非线性方程组所需的迭代过程。本文主要包括三个部分：

在第一部分，首先对研究的背景以及薛定谔方程的一些相关知识和国内外对其研究现状进行了简要介绍。一些预备知识，尤其是与分数阶微积分有关的概念和性质也被归纳于此。最后给出了本文的主要工作。 

在第二部分，利用包括分数阶中心差分公式、Taylor展开式在内的相关知识，构造了求解变系数分数阶薛定谔方程的三层线性化差分格式，并对格式的截断误差进行了简单分析。最后，借助于几个具体的数值算例对差分格式的有效性进行了验证。

第三部分是对本文工作进行简单总结，并对还存在的问题和改进的方向进行了思考。     

关键词：非线性薛定谔方程 线性化差分方案 变系数 截断误差 有效性

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1研究背景-1

1.2预备知识-2

1.2.1伽玛函数-2

1.2.2分数阶导数-3

1.3国内外研究现状-4

1.4本文主要工作-7

2 变系数分数阶薛定谔方程的差分方法-8

2.1差分格式的推导-8

2.2算法描述-9

2.3误差分析-11

2.4数值算例-11

3 总结-14

参考文献-15

附录-18

致谢-21