变系数分数阶扩散波方程的有限差分方法.docx

摘要  分数阶扩散波方程是分数阶微分方程中一类比较典型的方程，它通过用Caputo导数替换整数阶波方程中的二阶时间导数得到。目前虽有很多围绕分数阶扩散波方程的数值研究成果呈现，但大都涉及常系数的情形，对变系数情形的研究还相对较少。而在物理、科学工程等领域中，变系数的分数阶扩散波方程有着更为广泛的应用。同时，在通常情况下，分数阶扩散波方程的解析解大都以一些复杂函数的无穷级数形式呈现，且绝大多数分数阶扩散波方程均无法求出具体的解析解。因此，本文对变系数分数阶扩散波方程数值方法的研究具有重大的现实意义。由于有限差分方法具有精度高、存储量小以及易实现的优点，本文构造了一个求解变系数分数阶扩散波方程的Crank-Nicolson差分格式，并借助于具体的数值算例对格式的精度和有效性进行验证。本文主要包括以下三个部分：

第一部分对变系数分数阶扩散波方程的研究背景、国内外研究现状、分数阶微积分的概念、性质以及应用进行了简要介绍。

第二部分主要围绕变系数分数阶扩散波方程差分格式的推导进行展开，构造了一个Crank-Nicolson差分格式，同时借助于具体的数值算例对格式的精度及有效性进行验证。

第三部分旨在对本文工作进行总结，同时对存在的问题以及待完善之处进行分析说明。

    关键词：变系数  分数阶  波方程  Crank-Nicolson差分格式

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1研究背景及意义-1

1.2国内外研究现状-2

1.3分数阶微积分-5

1.3.1 分数阶微积分的定义-6

1.3.2 分数阶微积分的性质-8

1.4本文主要工作-9

2 变系数分数阶扩散波方程的有限差分方法-10

2.1差分格式的构造-10

2.2数值实验-15

3 总结-18

参考文献-19

附录-21

致谢-23