常微分方程的初等解法求解技巧研究.doc

摘要：我们对微分方程的研究已经持续几百年了，到今天微分方程已经渗透到了各大领域，为社会的发展与进步作出了不可磨灭的贡献，可以这么说它已经成为当今社会发展所必需的科学。我们知道微分方程通常有两个模块，一个模块是偏微分而另一个模块就是本文所需要研究的常微分，而归类这两个模块主要依靠判断未知函数与自变量相关的个数。本文主要对常微分方程以及它们的解法做了相关的探讨，对部分类型不同的常微分方程做了具体的介绍并分别给出了这些类型各异的方程所对应的解题方法，通过对比这些解题方法发现：这类一阶常微分方程所使用的初等解法就是利用数学方法先将其转化为积分问题继而得出相应答案。就相当于不定积分在微积分学中的作用，可以这么说初等积分法是常微分方程这门学科最重要的基础之一。本课题主要研究内容就是介绍一阶常微分方程的初等解法以及总结归纳求解技巧。

关键词 常微分方程；一阶常微分方程；初等积分法；通积分

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1 研究背景及意义-1

1.2 基本概念-1

1.2.1 线性方程和非线性方程-1

1.2.2 方程的解、通解、特解和初值-2

1.3 研究路线-3

2 常微分方程的初等解法-5

2.1 变量可分离方程-5

2.1.1 变量可分离方程-5

2.1.2 能变量变换化成变量可分离方程(变量代换法)-5

2.2 一阶线性微分方程-9

2.2.1 一阶线性微分方程(常数变易法)-9

2.2.2 可化为一阶线性微分方程-10

2.3 全微分方程-11

2.3.1 全微分方程-11

2.3.2 可化为全微分方程(积分因子法)-14

2.4 其他类型的方程-16

2.4.1 黎卡提方程-16

3 例题介绍技巧-18

3.1 三个技巧的例题分析-18

3.1.1 变为..18

3.1.2 分项组合法组合原则-18

3.1.2 积分因子选择-19

结论-21

致谢-22

参考文献-23